azalea says

Monty Hall Problem

假设你参加一个娱乐节目,主持人给你看三扇关闭的门,其中一扇门后有汽车,另外两扇门后有山羊。你选择三扇门其中之一,门后的东东你可以抱回家。你选择了一扇门,比如说1号门,主持人此时打开另外一扇门,比如说3号门,门后是山羊,主持人问你,“你现在可以改选2号门,你要改变你的选择么?”

这就是著名的 Monty Hall Problem。最先由 Steve Selvin 在1975年提出,1990年由 Marilyn vos Savant 发表在 Parade magazine 的 “Ask Marilyn”专栏,引发了热烈的讨论。

正确的选择取决于主持人的策略。Marilyn 提出的是以下情况:主持人知道门后是什么,而且主持人的策略是必定打开一扇与游戏参与者所选的不同,且门后是山羊的门。这种情况下,Marilyn说,游戏参与者应该改变选择。在 Marilin 收到的数千封读者来信中,92%的普通民众不同意 Marilyn 的答案,而65%的来自大学的信件认为不应该改变选择。

那么到底谁是正确的呢?Wikipedia 给出了各种解答,而Morgan等人指出了其中大部分的错误之处。我只把正确答案抄在下面:

当游戏参与者选择第1扇门后,可能的结果和对应的概率是以下6个:

Outcomes AGG2 AGG3 GAG2 GAG3 GGA2 GGA3
Probability p12 / 3 p13 / 3 p22 / 3 p23 / 3 p32 / 3 p33 / 3

其中,AGG2表示第1扇门后是汽车 (Auto),第2扇门后是山羊 (Goat),第3扇门后是山羊,且主持人打开的是第2扇门。

pij 表示已知 i 门后是汽车且主持人打开 j 门的概率。因此 pi2 + pi2 = 1

以上概率都除以3的原因是汽车在任意门后的概率都是 1/3

因此,Pr(Ws D3) = Pr(GAG3) / Pr(AGG3, GAG3) = p23 / (p13 + p23)

pij的具体数值取决于主持人的策略。Marilyn 提出的主持人策略是,打开的门与游戏参与者所选的不同,而且门后必定不是汽车。在这种情况下:

p12 = p, p13 = q = 1 - p,
p22 = p33 = 0, p23 = p32 = 1

因此,Pr(Ws D3) = 1 / (1 + q) ≥ 1/2

因此,答案是要改变选择,因为改变选择很有可能增加得到汽车的概率。

特殊地,当 p = q = 1/2,即主持人尽可能的随机打开2扇门后是山羊的门时,Pr(Ws D3) = 2/3
有趣的是,主持人有一种策略可以使得 Pr(Ws D3) = 1/2,即游戏参与者改变选择与否都不能增加得到汽车的概率。这个策略是 q = 1,即主持人尽可能只打开第3扇门。

其实,这个问题很早就以别的面目出现过,它被成为“囚徒困境”或者“The Serbelloni Problem”。有3个囚徒,马修,马克和卢克,其中2人要被处死,但是马修不知道到底是谁。因此他问狱卒说:“既然马克或卢克中的一个肯定会被处死,你告诉我他们两个中谁会被处死,其实并没有透露我是否会被处死的信息,是吧”。狱卒深以为然,诚实地说,马克会被处死。马修于是很高兴,因为他觉得在狱卒告诉他这个消息之前,他被处死的概率是2/3,而现在他和卢克2个人中有一个人不会被处死,因此他被处死的概率是1/2。问:马修高兴的理由是对的么?

答案可以在以下两本书中找到:

Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions page 28.

Statistical Inference page 21.

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