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《九章算术注》:两千年前计算太阳高度的方法

《九章算术注》是魏晋期间数学家刘徽(约公元225年—295年)为《九章算术》写的注解。序言中有如下段落:

立两表于洛阳之城,令高八尺。南北各尽平地,同日度其正中之景。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一,所得加表高,即日去地也。

这就是中学数学讲的计算太阳高度的方法。如图:

太阳高度

图中 P 是太阳。AB,CD是两根等长旗杆(两表)。AB是旗杆高度(表高)。BD是两根旗杆距离(表间)。两个旗杆投影长度差(影差)为 (DF - BE)。“以景差为法”,意思是 影差 是除数(法)。“表高乘表间为实”,意思是 表高 x 表间 是被除数(实)。“实如法而一”,意思是用被除数(实)除以除数(法)。

则太阳高度(日去地) = 表高 x 表间 / 影差 + 表高

用图中符号表示则是:

PQ = AB x BD / (DF - BE) + AB

用相似三角形容易证明。提示:延长CA交PQ于G,做辅助线CG。下面交给读者你了。^_^

这是《九章算术注》里详细讨论的重差法的一个例子。重差,重复取差之意,是利用两个或两个以上的表当作测量基准的测量方法。神奇的是,中国古代数学理论里并没有相似三角形的概念,而是用勾股比率。

杨辉(约1238年-约1298年)《续古摘奇算法》卷下对勾股比率的解释:“直田之长名股,其阔名勾,于两隅角斜界一线,其名弦。弦之內、外分二勾股,其一勾中容横,其一股中容直,二积之数皆同。”如图:

勾股比率

易知矩形AFEG和矩形CHEI面积相等,则 EF x EG = EH x EI,即 DF / EF = EG / BG,我们并不需要利用相似三角形DEF和EBG就推出了同样的两边对应成比例的结论。

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